Kommutatives Diagramm

In der Mathematik beschreibt ein kommutatives Diagramm, dass verschiedene Verkettungen von Abbildungen das gleiche Ergebnis liefern.

Eine Abbildung ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ kann durch einen Pfeil dargestellt werden. Dies ist ein einfaches Diagramm.

Die Verkettung mit einer weiteren Abbildung ${\displaystyle g}$ von ${\displaystyle B}$ nach ${\displaystyle C}$ kann durch das Aneinanderhängen der Pfeile ausgedrückt werden.

Will man dieser Verkettung einen Namen geben, so kann man einen weiteren Pfeil ${\displaystyle h}$ von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle C}$ einzeichnen.

Es wäre denkbar, dass ${\displaystyle h}$ eine beliebige Abbildung von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle C}$ ist. Wenn sie mit der Verkettung ${\displaystyle g\circ f}$ übereinstimmt, sagt man, dass das Diagramm kommutiert.

Allgemein müssen, damit ein Diagramm kommutiert, für alle Wege von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$ die Verkettungen der zugehörigen Abbildungen übereinstimmen.

Kurzgefasst: Ein Diagramm kommutiert, „wenn es egal ist, welchen Weg man wählt“.